Il processo decisionale di Markov (MDP), dal nome del matematico Andrej Andreevič Markov, è un processo di controllo stocastico a tempo discreto. Fornisce un framework matematico per la modellizzazione del processo decisionale in situazioni in cui i risultati sono in parte casuali e in parte sotto il controllo di un decisore.

Se fino a qui non hai capito nulla prosegui che verrà spiegato in modo più semplice.

In altre parole, l’MDP è un modello matematico che descrive il processo decisionale in cui le decisioni del decisore influenzano gli esiti futuri, ma il futuro non può essere completamente determinato in anticipo perché gli esiti sono in parte casuali. L’MDP è utile per studiare i problemi di ottimizzazione risolti tramite la programmazione dinamica e l’apprendimento per rinforzo .

La maggior parte dei problemi di apprendimento per rinforzo possono essere formalizzati come MDP. In sostanza, l’MDP è uno strumento matematico fondamentale per comprendere e risolvere problemi di decisione complessi in cui esiste una componente di casualità.

Le formule del processo decisionale di Markov

Il processo decisionale di Markov (MDP) può essere definito formalmente attraverso alcune formule.

In particolare, un MDP può essere descritto come una quintupla $(S, A, T, R, \gamma)$, dove:

$S$ è l’insieme degli stati possibili del processo;
$A$ è l’insieme delle azioni possibili che possono essere eseguite dal decisore;
$T(s, a, s’) = \text{Pr}(S_{t+1} = s’ | S_t = s, A_t = a)$ è la funzione di transizione, che descrive la probabilità di passare dallo stato $s$ allo stato $s’$ eseguendo l’azione $a$;
$R(s, a, s’)$ è la funzione di ricompensa, che restituisce la ricompensa ottenuta dopo il passaggio dallo stato $s$ allo stato $s’$ eseguendo l’azione $a$;
$\gamma$ è il fattore di sconto, un parametro che controlla l’importanza di ricompense future rispetto a ricompense immediate.

Le formule per calcolare la funzione di valore e la politica ottima dipendono dal caso specifico e possono essere ottenute utilizzando tecniche di programmazione dinamica o di apprendimento per rinforzo.

La logica su cui si basa il processo decisionale

In sostanza, un processo decisionale di Markov (MDP) è un modello matematico utilizzato per descrivere situazioni in cui un decisore deve prendere una serie di decisioni in un ambiente in cui gli esiti futuri non possono essere completamente previsti.

Ad esempio, l’ambiente potrebbe essere costituito da un gioco in cui il decisore deve decidere quale mossa eseguire, ma il risultato finale dipende anche dalla casualità delle mosse dell’avversario.

Per descrivere questo tipo di situazione, l’MDP utilizza un insieme di formule matematiche che descrivono le probabilità di passare da uno stato all’altro, le ricompense associate alle diverse transizioni e un parametro di sconto che indica quanto le ricompense future sono importanti rispetto a quelle immediate.

Utilizzando queste formule, è possibile calcolare la “migliore” sequenza di decisioni che il decisore dovrebbe prendere per massimizzare la sua ricompensa totale.

In pratica, la soluzione di un MDP richiede di utilizzare tecniche di programmazione dinamica o di apprendimento per rinforzo per calcolare la funzione di valore (che indica quanto “buono” è ogni possibile stato del sistema) e la politica ottima (che indica quale azione il decisore dovrebbe prendere in ogni stato).

In questo modo, l’MDP fornisce uno strumento matematico per affrontare problemi decisionali complessi in cui la casualità gioca un ruolo importante.

Esempio di processo decisionale di Markov

Un esempio di processo decisionale di Markov potrebbe essere quello di un agente robotico che deve imparare a navigare in un ambiente sconosciuto.

L’agente può muoversi in quattro direzioni:

su, giù, a destra e a sinistra.

In ogni passo di tempo, l’agente deve decidere quale azione intraprendere in base alla sua posizione corrente e alle informazioni sensoriali raccolte sull’ambiente circostante.

L’ambiente in cui si muove l’agente può contenere ostacoli, aree di ricompensa e aree di penalità.

Ad esempio, l’agente potrebbe ricevere una ricompensa per raggiungere una determinata posizione dell’ambiente o una penalità se si muove in una zona occupata da un ostacolo.

L’MDP potrebbe essere utilizzato per calcolare la politica ottimale per l’agente, ovvero quale azione intraprendere in ogni possibile stato del sistema.

Utilizzando tecniche di apprendimento per rinforzo, l’agente potrebbe apprendere gradualmente come massimizzare la sua ricompensa totale navigando nell’ambiente.

In questo esempio, le formule del MDP sarebbero utilizzate per descrivere le probabilità di transizione tra le diverse posizioni dell’ambiente, le ricompense e le penalità associate a ogni transizione, e il parametro di sconto che indica quanto le ricompense future sono importanti rispetto a quelle immediate.

Bull and bear

Testi sul processo decisionale di Markov

Se vuoi approfondire i concetti ti suggeriamo alcuni libri:

Markov Decision Processes

Discrete Stochastic Dynamic Programming” di Martin L. Puterman. Questo libro è considerato un testo di riferimento per gli MDP e fornisce una panoramica completa del campo, con esempi e applicazioni pratiche.

Reinforcement Learning: An Introduction

di Richard S. Sutton e Andrew G. Barto. Questo libro è una guida completa all’apprendimento per rinforzo, che include anche il MDP come modello fondamentale. È adatto sia ai principianti che agli esperti.

Markov Decision Processes in Artificial Intelligence

di D.P. Bertsekas e S.E. Shreve. Questo libro fornisce un’introduzione ai MDP e alle loro applicazioni nell’ambito dell’intelligenza artificiale, con un approccio matematico e rigoroso.

Dynamic Programming and Optimal Control

di Dimitri P. Bertsekas. Questo libro è una guida completa alla programmazione dinamica e alla teoria del controllo ottimale, che include anche gli MDP. È adatto sia agli studenti che ai professionisti.

Machine Learning: A Probabilistic Perspective” di Kevin P. Murphy.

Questo libro è un’introduzione completa all’apprendimento automatico e alla modellazione probabilistica, che include anche i MDP come modello fondamentale. È adatto sia ai principianti che agli esperti.

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